Đạo hàm toán cao cấp

      55
Bài viết này cuuthien.vn trình làng đến bạn đọc phương thức Tính đạo hàm và vi phân v.i.p của hàm số

*

1. Một trong những công thức đạo hàm v.i.p của hàm số thường xuyên gặp

$eginarrayl y = sin (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^nsin left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = cos (ax + b) Rightarrow y^(n)(x) = a^ncos left( ax + b + fracnpi 2 ight)\ y = frac1ax + b Rightarrow y^(n)(x) = frac( - 1)^na^n.n!(ax + b)^n + 1\ y = e^ax + b Rightarrow y^(n)(x) = a^ne^ax + b.\ y = (ax + b)^alpha Rightarrow y^(n)(x) = a^nalpha (alpha - 1)...(alpha - n + 1)(ax + b)^alpha - n endarray$

2. Cách làm Lepnit tính đạo hàm v.i.p của hàm số tích

Cho những hàm số $y=u(x),y=v(x)$ gồm đạo hàm đến cấp cho $n$ lúc đó $left< u(x).v(x) ight>^(n)=sumlimits_k=0^nC_n^ku^(k)(x)v^(n-k)(x).$

3. Những ví dụ minh hoạ

Câu 1. Tính đạo hàm $f^(50)(x)$ cùng với $f(x)=(2x^2+x+1)e^5x+2.$

Giải. Ta có:

$eginarrayc f^(50)(x) = sumlimits_k = 0^50 C_50^k(2x^2 + x + 1)^(k)(e^5x + 2)^(50 - k) .\ = 5^50(2x^2 + x + 1)e^5x + 2 + 50(4x + 1)5^49e^5x + 2 + 1225.4.5^48e^5x + 2. endarray$

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=dfrac1+xsqrt1-x.$ Tính $f^(100)(0).$

Giải. Ta có

$eginarrayl f(x) = dfrac1 + xsqrt 1 - x = dfrac2 - (1 - x)sqrt 1 - x = 2(1 - x)^ - dfrac12 - (1 - x)^dfrac12.\ f^(100)(x) = 2left< ( - 1)^100left( - dfrac12 ight)left( - dfrac12 - 1 ight)...left( - dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^ - dfrac12 - 100 ight>\ - left< ( - 1)^100left( dfrac12 ight)left( dfrac12 - 1 ight)...left( dfrac12 - 99 ight)(1 - x)^dfrac12 - 100 ight>\ = dfrac3.5...1992^99(1 - x)^ - dfrac2012 + dfrac3.5....1972^100(1 - x)^dfrac1972. endarray$

Do kia $f^(100)(0)=dfrac3.5...1972^100(199.2+1)=399dfrac(197)!!2^100,$ trong những số ấy $(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)...5.3.1;(2n)!!=2n(2n-2)...6.4.2.$

Câu 3. Tính $f^(100)(x)$ biết $f(x)=x^2cos x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayc f^(100)(x) = sumlimits_k = 0^100 C_100^k(x^2)^(k)(cos x)^(100 - k) \ = x^2cos left( x + frac100pi 2 ight) + 100.2x.cos left( x + frac99pi 2 ight) + 4950.2.cos left( x + frac98pi 2 ight)\ = x^2cos x + 200xsin x - 9900cos x. endarray$

Câu 4.

Bạn đang xem: Đạo hàm toán cao cấp

Tính đạo hàm cấp cao $y^(5)(x)$ của hàm số $y=ln (2x^2-x).$

Giải. Ta có: $y"=dfrac4x-12x^2-x=dfrac4x-1x(2x-1)=dfrac42x-1-dfrac1x(2x-1)=dfrac42x-1-left( dfrac22x-1-dfrac1x ight)=dfrac22x-1+dfrac1x.$

Vậy $y^(5)(x)=left( dfrac22x-1+dfrac1x ight)^(4)=2dfrac2^4(-1)^44!(2x-1)^5+dfrac(-1)^44!x^5=24left( dfrac32(2x-1)^5+dfrac1x^5 ight).$

Câu 5. Tính đạo hàm v.i.p $f^(100)(0)$ của hàm số $f(x)=dfrac1x^2-x+1.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl f(x) = frac1left( x - frac12 ight)^2 + frac34 = frac1left( x - frac12 ight)^2 - left( fracsqrt 3 2i ight)^2 = frac1sqrt 3 ileft( frac1x - frac12 - fracsqrt 3 2i - frac1x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight).\ f^(100)(x) = frac1sqrt 3 ileft( frac( - 1)^100100!left( x - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac( - 1)^100100!left( x - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight)\ f^(100)(0) = frac100!sqrt 3 ileft( frac1left( - frac12 - fracsqrt 3 2i ight)^101 - frac1left( - frac12 + fracsqrt 3 2i ight)^101 ight) = frac100!sqrt 3 i( - sqrt 3 i) = - 100! endarray$

Bước cuối bạn đọc thay dạng lượng giác số phức vào nhằm rút gọn.

Xem thêm: Nước Rửa Cọ Trang Điểm Cực Đúng Cách, Cách Để Vệ Sinh Cọ Trang Điểm

Cách 2:Ta gồm $(x^2-x+1)y=1,$ đạo hàm cấp n nhị vế có:

$eginarrayl (x^2 - x + 1)y^(n)(x) + n(2x - 1)y^(n - 1)(x) + n(n - 1)y^(n - 2)(x) = 0\ y^(n)(0) - ny^(n - 1)(0) + n(n - 1)y^(n - 2)(0) = 0 Leftrightarrow fracy^(n)(0)n! - fracy^(n - 1)(0)(n - 1)! + fracy^(n - 2)(0)(n - 2)! = 0\ u_n = fracy^(n)(0)n! Rightarrow u_n - u_n - 1 + u_n - 2 = 0.... endarray$

Câu 6. Tính đạo hàm cấp cao $y^(99)(0)$ của hàm số $y=arcsin x.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl y" = frac1sqrt 1 - x^2 Rightarrow (1 - x^2)y" = sqrt 1 - x^2 \ Rightarrow - 2xy" + (1 - x^2)y"" = - fracxsqrt 1 - x^2 = - xy"\ Leftrightarrow (1 - x^2)y"" - xy" = 0. endarray$

Do kia $left( (1-x^2)y""-xy" ight)^(n)=0$ và

$eginarrayl (1 - x^2)y^(n + 2)(x) - n.2x.y^(n + 1)(x) - n(n - 1)y^(n)(x) - xy^(n + 1)(x) - ny^(n)(x) = 0.\ Rightarrow y^(n + 2)(0) = n^2y^(n)(0) Rightarrow y^(99)(0) = 97^2y^(97)(0) = ... = (97.95...3.1)^2y"(0) = (97!!)^2. endarray$

Hiện trên cuuthien.vn chế tạo 2 khoá học Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 dành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế tài chính của toàn bộ các trường:

Khoá học cung ứng đầy đủ kỹ năng và cách thức giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài xích học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng từ luận có lời giải chi tiết tại website để giúp học viên học cấp tốc và vận dụng chắc chắn kiến thức. Phương châm của khoá học giúp học viên được điểm A thi cuối kì những học phần Toán cao cấp 1 với Toán cao cấp 2 trong những trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân

- ĐH nước ngoài Thương

- ĐH thương Mại

- học viện Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH kinh tế ĐH nước nhà Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế tài chính của các trường ĐH không giống trên mọi cả nước...