Bài tập hình học lớp 9 nâng cao

      21

Dưới đây là toán hình 9 nâng cao mới nhất tổng hợp những bài toán nâng cao lớp 9 học kì 1 giúp các bận hệ thống lại kiến thức cũng như dạng toán nâng cao và các chuyên de hình học 9 . Hãy cùng theo dõi bên dưới với cuuthien.vn nhé.

Bạn đang xem: Bài tập hình học lớp 9 nâng cao

Video hướng dẫn làm toán 9 nâng cao hình học

Tổng hợp những bài toán hình 9 nâng cao

Để học tốt môn Toán lớp 9, bên cạnh các bài Giải bài tp Toán 9, loạt bài Chuyên đề Toán 9 gồm hai phần: Chuyên đề Đại Số 9 và Chuyên đề Hình Học 9 được biên soạn bám sát theo nội dung chương trình học Toán lớp 9 gồm: Lý thuyết, Bài tập tự luận, Bài tập trắc nghiệm tương ứng với mỗi chuyên đề.

Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

A. Phương pháp giải

*

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH. Khi đó ta có:

1, c2 = ac’, b2 = ab’

2, a2 = b2 + c2

3, ah = bc

4, h2 = b’.c’

5, 1/h2 = 1/b2 + 1/c2

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Tính x, y trong các trường hợp sau

*
*

Hướng dẫn giải

a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC2= AB2+ AC2

BC2= 52+ 72

BC2= 74

Suy ra BC = √74

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC

=> BD = AB2/BC => x = 25/√74

DC = BC – BD = √74 – 25/√74 = 49/√74

Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74

b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 hay x = 4.

AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 hay y = √48

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

*

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC2 = CH.BC = 16.BC

AB2 + AC2 = BC2

⇔ 152 + 16.BC = BC2

⇔ BC2 – 16.BC – 225 = 0

⇔ BC2 – 25BC + 9BC – 225 = 0

⇔ BC(BC – 25) + 9(BC – 25) = 0

⇔ (BC – 25)(BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)

=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400

=> AC = 20

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ dài phân giác giác góc C

*

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có

BC2 = 502 = 2500

AB2 + AC2 = 142 + 482 = 2500

=> BC2 = AB2 + AC2

=> Tam giác ABC vuông tại A

Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)

=> DB = 25/7 DA.

Ta có DA + DB = AB

⇔ DA + 25/7 DA = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ DA = 10,5cm

Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có

CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo thứ tự D và E. Tính DE.

*

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC2 = AB2+ AC2 ( theo định lý py-ta-go)

BC2 = 242+ 322

BC2 = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ACB và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90o

∠C chung

=> Tam giác ACB ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

Chuyên đề: Đường tròn

A. Phương pháp giải

1, Định nghĩa đường tròn

Đường tròn là quỹ tích những điểm cách đều một điểm cố định trong mặt phẳng.

Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

Chú ý:

– Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.

– Nếu hai đường tròn có 3 điểm chung thì chúng phải trùng nhau

– Để xác định một đường tròn ta xác định tâm và bán kính của nó hoặc 3 điểm phân biệt thuộc đường tròn.

– Để chứng minh nhiều điểm nằm trên một đường tròn ta chứng minh điểm ấy cách đều 1 điểm xác định.

2. Định lý

a, Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b, Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

3. Tính chất đối xứng

-Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

– Bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.

4. Các định lý liên quan đến dây cung và đường kính

1, Trong các dây cung của một đường tròn, dây cung lớn nhất là đường kính.

2, Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua trung điểm dây ấy. Ngược lại, đường kính đi qua trung điểm của một dây cung( không phải là đường kính) thì vuông góc với dây cung ấy.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AD=12cm, CD=16cm. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có OA = OB = OC = OD nên bốn điểm A, B,C,D thuộc cùng một đường tròn( tâm O, bán kính OA).

AC2 = AD2 + DC2 = 122 + 162 = 400

=> AC = 20

Bán kính của đường tròn bằng 10cm.

*

Bài 2: Trong các câu sau, câu nào đúng? Câu nào sai?

a, Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung.

b, Hai đường tròn phân biệt có thể có ba điểm chung phân biệt

c, Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác bao giờ cũng nằm trong tam giác ấy.

Hướng dẫn giải

a. Đúng

b. Sai

c. Đúng

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn(O). Đường cao AH cắt đường tròn ở D.

a, Vì sao AD là đường kính của đường tròn (O).

b, Tính số đo góc ACD

c, Cho BC=24cm,AC=20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O)

Hướng dẫn giải

*

a, Tam giác ABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC. Do đó AD là đường trung trực của BC. Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên O nằm trên AD. Vậy AD là đường kính của đường tròn (O).

b, Tam giác ACD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên ∠ACD = 90o

c, Ta có BH = HC = BC/2 = 12(cm)

Tam giác AHC vuông tại H nên AH2 = AC2 – HC2 = 202 – 122 = 256

=> AH = 16(cm)

AC2 = AD. AH

AD = AC2/AH = 25(cm)

Bán kính đường tròn(O) bằng 12,5cm.

Bài 4: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:

a, Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường thẳng.

b, HK HI = 1/2 BC (1)

Xét tam giác vuông CBK có KI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC => KI = 1/2 BC (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra HI=KI=IB=IC. Vậy bốn điểm B, K, H, C cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính IB.

b, Trong đường tròn tâm (I) ở trên, HK là dây, BC là đường kính nên KH o

b) MA = R

c) MO = 2R

Hướng dẫn giải

Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B nên: MA ⊥ OA, MB ⊥ OB

Suy ra: ∠MAO = ∠MBO = 90o

a)

*

Xét tứ giác MAOB có:

∠AMB + ∠AOB + ∠MAO + ∠MBO = 360o

⇔ ∠AOB = 360o – (∠AMB + ∠MAO + ∠MBO)

= 360o – (70o+ 90o + 90o)

= 110o

Vậy số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB bằng 110o .

b)

*

Nếu MA = R

Xét ΔMAO có: MA = AO = R và ∠MAO = 90o

=> Δ MAO vuông cân tại A

=> ang;MOA = 45o

Vậy ∠AOB = 2.∠MOA = 90o

c)

*

Nếu MO = 2R

Xét ΔMAO vuông tại A có: MO = 2.AO

=> ∠AMO = 30o => ∠AOM = 60o

Vậy: ∠AOB = 2.∠AOM = 120o

Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và dây AB không đi qua O. Trên dây AB lấy các điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Tia OM, ON cắt (O) lần lượt tại C và D.

*

Hướng dẫn giải

*
*

Thât vậy, xét ΔAOM và ΔBON có:

OA = OB = R

∠OAM = ∠OBN (do ΔOAB cân tại O)

AM = BN (gt)

Suy ra ΔAOM = ΔBON(c-g-c)

Suy ra ∠AOM = ∠BON (hai góc tương ứng)

*

Gọi I là trung điểm của OB. Suy ra NI là đường trung bình của ΔOBM nên NI // OM => ∠MON = ∠ONI(so le trong) (1)

Mặt khác ta có: OB = OC = R, mà M ∈ OC => OM ∠MAB = ∠ABN (so le trong) (1)

Mặt khác: OA = OB = O’A = O’B nên tứ giác OAO’B là hình thoi, do đó ∠OAB = ∠ABO’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠MAO = ∠NBO’

Ta có: ΔMOA cân tại O và ΔNO’B cân tại O’ có góc ở đáy bằng nhau nên ∠MOA = ∠NO’B

Do đó: ΔMOA = ΔNO’B(c.g.c) => AM = BN

Mặt khác hai đường tròn (O) và (O”) bằng nhau nên

*

Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A và B (R o .

Xem thêm: Đánh Giá Xe Yamaha Yb125Sp 2021 Giá 40 Triệu Đồng Có Nên Mua Không? ?

Tương tự ta có: ∠BAD = 90o

Suy ra: ∠CAD = ∠BAD + ∠BAC = 180o nên 3 điểm C, A, D thẳng hàng.

b) Xét đường tròn (O) có:

*

Xét đường tròn (O’) có:

*

Từ đó suy ra

*

Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho SđBC = 30o, điểm M thuộc cung AC nhỏ. Gọi D và E là các điểm đối xứng với M qua AB và OC. Chứng minh rằng: ΔDOE đều.

Hướng dẫn giải

*

Vì SđBC = 30o => ∠BOC = 30o

Gọi I là giao điểm của MD và AB, J là giao điểm của ME và OC.

Theo giả thiết: M và D đối xứng với nhau qua AB, mà M thuộc đường tròn (O) nên D cũng thuộc đường tròn (O). Tương tự E thuộc đường tròn (O).

Tứ giác MIOJ có ∠I = ∠J = 90o

=> ∠IMJ + ∠IOJ = 180o

=> ∠IMJ = 180o – ∠IOJ = ∠BOC = 30o

Ta có ΔMOD và ΔMOE cân tại O nên:

∠MOD = 180o – 2∠DMO

∠MOE = 180o – 2∠EMO

=> ∠MOD + ∠MOE = 360o – 2(∠DMO + ∠EMO)

⇔ 360o – ∠DOE = 360o – ∠IMJ

⇔ ∠DOE = 2∠IMJ = 60o

Vậy ΔDOE đều.

Bài 6: Cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với đường tròn (O). Tiếp tuyến tại M với (O) cắt Ax tại C và cắt By tại D; các đường thẳng CO và OD cắt (O) lần lượt tại E và F.

a) Tính Sđ EF.

b) Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp .

Hướng dẫn giải

*

a) Vì CA và BM là hai tiếp tuyến với (O) nên OC là tia phân giác của ∠AOM .

Tương tự ta có OD là tia phân giác của ∠BOM

Mà ∠AOM và ∠BOM là hai góc kề bù, suy ra OC ⊥ OD

Vậy ta có ∠COD = 90o hay SđEF = 90o .

b) * Phần thuận:

Vì ΔCOD vuông tại O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔCOD là trung điểm của CD.

Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang có OI là đường trung bình nên OI//AC => OI ⊥ AB.

Vậy I chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với AB tại O.

* Phần đảo và giới hạn: Học sinh tự chứng minh.

Bài 7: Cho AB là dây cung của đường tròn (O), I là trung điểm của AB. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý. Gọi giao điểm OI và MI với (O) lần lượt C và N. So sánh và .

*

Hướng dẫn giải

*

Kẻ OH ⊥ MN

Ta có: ΔOHI vuông tại H nên OH CD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) MH > MK

b) ∠MOH > ∠MOK

Hướng dẫn giải

a) Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD nên OH ⊥ AB, OK ⊥ CD (quan hệ giữa đường kính và dây cung).

Ta có: AB > CD => OH MH > MK

Vì ∠MHO = ∠MKO = 90o nên H, K cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

Trong đường tròn đường kính MO, ta có MH > MK

Mặt khác: ∠MOH = 1/2 SđMH

∠MOK = 1/2 SđMK

Từ đó suy ra: ∠MOH > ∠MOK .

Bài 10: Trên đường tròn (O; R), lấy lần lượt theo cùng một chiều các điểm A, B, C, D sao cho

*

Chứng minh rằng SΔAOB = SΔCOD .

Hướng dẫn giải

*

Kéo dài OC cắt đường tròn (O) tại E.

*

Do đó: ΔAOB = ΔEOD nên SΔAOD = SΔEOD (1)

Mặt khác: ΔEOD và ΔCOD có chung chiều cao kẻ từ D xuống EC và độ dài hai đáy EO = OC nên SΔEOD = SΔCOD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SΔAOB = SΔCOD .

Chuyên đề: Hình Trụ – Hình Nón – Hình Cầu

A. Phương pháp giải

*

1. Khái niệm hình trụ

Khi quay hình chữ nhật ABCD một vòng quay cạnh AB cố định ta được 1 hình trụ (H.1)

– AD và BC quét nên hai đáy của hình trụ. HÌnh tròn (A) và (B) bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song.

– DC quét nên mặt xung quanh của hình trụ, DC và EF là hai đường sinh. Độ dài đường sinh là chiều cao của hình trụ.

2. Công thức

(R là bán kính đáy, h là chiều cao, S là diện tích đáy).

C. Bài tập tự luận

Bài 1: Một vật thể có dạng hình trụ (H2) bán kính đường tròn đáy và chiều cao của nó đều bằng 2a (cm). Người ta khoan một lỗ cũng có dạng hình trụ có bán kính đáy và độ sâu đều bằng a (cm).

a) Tính thể tích phần vật thể còn lại.

b) Nếu ta sơn cả bên trong lẫn bên ngoài vật thể thì diện tích vật thể được bao phủ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Gọi thể tích các hình trụ lớn, hình trụ nhỏ lần lượt là V1, V2

Thể tích cần tìm sẽ là:

V = V1 – V2

V = π(2a)2.2a – π.a2.a

= 8πa3 – πa3

= 7πa3 (cm3)

b) Diện tích cần tìm bằng diện tích toàn phần của hình trụ lớn cộng thêm diện tích xung quanh của hình trụ nhỏ:

S = 2π.2a.2a + 2π.(2a)2+ 2π.a.a

= 8πa2 + 8πa2 + 2πa2

= 18πa2 (cm2)

Bài 2: Có 2 lọ có dạng hình trụ, các kích thước như ở hình 3. Hãy so sánh dung tích của 2 lọ và diện tích xung quanh của 2 lọ.

Hướng dẫn giải

*

a) V1 = πR2 . 2a = 2πR2a

V2 = π.(2R)2.a = 4πR2a

=>V1 = 2V2

b) S1 = 2πR.2a = 4πR.a

S2 = 2π.2R.a = 4πRa

=> S1 = S2

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều cạnh a, chiều cao lăng trụ là h. Xét hai hình trụ, một hình có đáy là hình tròn nội tiếp đáy lăng trụ, một hình có đáy là hình tròn ngoại tiếp đáy lăng trụ. Chiều cao của hai hình trụ này đều bằng chiều cao của hình lăng trụ.

a) Tính Sxq của hai hình trụ đó.

b) Tính tỷ số thể tích, tỷ số Sxq của hai hình trụ.

Tìm sự liên hệ giữa hai tỷ số đó.

Hướng dẫn giải

*

Dễ thấy hình lục giác đều có cạnh a nên:

=> R =a ; r= a√3/2

a) Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích xung quanh của hình tròn ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ. Ta có:

S1 = 2πRh = 2πah

S2 = 2πrh = πah√3

b) Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ đó. Ta có: